Feliz dia do Pi

O pi aparece nos lugares mais inesperados

Importaria se alguém tivesse errado o 11,137,423,895,285º dígito?

Feliz Dia do Pi, no qual nós celebramos o número mais famoso do mundo. O valor exato do π=3.14159... tem fascinado pessoas desde a antiguidade, e matemáticos computaram trilhões de dígitos. Mas por que nós nos importamos? Importaria se alguém tivesse errado o 11,137,423,895,285º dígito?

Provavelmente não. O mundo continuaria girando (com uma circunferência de 2πr). O que importa em relação ao π não é tanto o valor, mas a ideia, e o fato de que o π aparece em vários lugares inesperados.

Vamos começar com os lugares esperados. Se um círculo tem um raio r, então a circunferência tem 2πr. Então se um círculo tem um raio de1 pé e você anda em torno do círculo nessa medida, serão necessários 2π = 6.28319... passos para andar o caminho inteiro. Seis passos não está nem perto do suficiente, e depois de sete você terá passado do limite. Não importa quantas vezes você dê um passo, você nunca voltará ao ponto de partida inicial.

Da circunferência de um círculo nós conseguimos a área. Corte a pizza em um número par de pedaços, colorindo cada uma deles de amarelo e azul de forma alternada. Coloque as fatias azuis apontando para cima e as amarelas para baixo. Já que cada cor é relativa à metade da circunferência do círculo, o resultado é aproximadamente uma tira da altura r e da largura πr, ou área πr2. Quanto mais fatias tivermos, mais aproximada será, então a área deve ser exatamente πr2.

Pi em outros lugares

Você não tem somente o π em movimento circular. Você tem o π em qualquer oscilação. Quando uma massa vem à tona na primavera, ou um pêndulo balança de frente para trás, a posição se comporta como se tivesse uma coordenada de partícula indo ao redor de um círculo.

Se o seu deslocamento máximo é de um metro e o sua velocidade máxima é de um metro por segundo, é como ir ao redor de um círculo com raio de um metro em um metro por segundo, e seu período de oscilação será exatamente 2π segundos.

O pi também aparece na probabilidade. A função f(x)=e-x², na qual e=2.71828... é o número de Euler, descreve a probabilidade de distribuição mais comum vista no mundo real, governando tudo desde notas do vestibular para qual posição do alvo atingirão os dardos. A área abaixo dessa curva é exatamente a raiz quadrada de π.

Como envolvemos o π no meio disso tudo? A função de duas dimensões f(x)f(y) permanece a mesma se você girar as coordenadas. Coisas redondas no geral estão relacionadas a círculos, e círculos envolvem o π.

O calendário é outro lugar no qual vemos o π. Um ano normal de 365 dias tem mais de 10 mil π segundos. Tem a ver com a Terra orbitando ao redor do Sol? Na verdade não. É só uma coincidência, graças à nossa divisão arbitrária de cada dia em 24 horas e cada hora em 60 minutos e cada minuto em 60 segundos.

O que não é coincidência é como a duração do dia varia de acordo com as estações. Se você marcar as horas do dia como uma função da data, começando na próxima semana do equinócio, você terá a mesma curva que descreve a posição de um pêndulo ou uma coordenada do movimento circular.

Aparições avançadas do π

Mais exemplos do π aparecem em cálculos, principalmente em séries infinitas como 1 - (1⁄3) + (1⁄5) - (1⁄7) + (1⁄9) + ⋯ = π/4 e 12 + (1⁄2)2 + (1⁄3)2 + (1⁄4)2 + (1⁄5)2 + ⋯ = π2/6.

Também do cálculo vem a misteriosa equação de Euler eiπ + 1 = 0 relativa a cinco dos números mais importantes na matemática: 0, 1, i, π e e, onde i é a (imaginária) raiz quadrada de -1.

Primeiro isso parece tolice. Como você possivelmente conseguiria colocar um número com e em um poder imaginário?! Permaneça comigo. A taxa de mudança da função exponencial f(x) =ex é igual ao valor da própria função. À esquerda da figura, onde a função é pequena, mal está mudando. À direita, onde a função é grande, está mudando rapidamente. Da mesma forma, o resultado da mudança de qualquer função de f(x)=eax será proporcional a eax.

Podemos definir f(x)=eix como sendo uma função complexa cuja taxa de mudança é i vezes a própria função, e cujo valor em 0 é 1. Essa acaba sendo uma combinação das funções trigonométricas que descrevem o movimento circular, especialmente cos(x) + i sin (x). Já que a distância π te leva à metade da unidade do círculo, cos(π)=-1 e sin(π)=0, logo, eiπ=-1.

Finalmente, algumas pessoas preferem trabalhar com τ=2π=6.28… em vez de π. Já que a distância 2π te leva ao redor do círculo, eles escreveriam que eiτ = +1. Se você achar isso confuso, pense sobre o assunto por alguns meses. Então você pode celebrar o dia de 28 de junho preparando duas tortas.